Chapitres 0 et 1 : l'essentiel.

L'essentiel

Si tu ne retiens que ça, tu as déjà la moyenne. Chaque point est détaillé plus bas.

Plan de révision en 3 séances

Ch0 · Révisions ING1 amphi Cours 0

Pas d'exercice dédié dans le poly : le TD0, ce sont les exemples du cours. Il faut surtout savoir appliquer chaque méthode.

\(I\). Les sources

• Source de tension idéale : impose une tension \(E\) quel que soit le courant. Source de courant idéale : impose un courant \(I\) quelle que soit la tension.
• Transformation Thévenin ↔ Norton : une source \(E\) en série avec \(R\) équivaut à une source \(I=\dfrac{E}{R}\) en parallèle avec la même \(R\).

II. Lois fondamentales

Loi d'Ohm : deux formulations

• \(1^{\text{re}}\) formulation (avec les flèches) : \(u=+Ri\) si \(i\) entre par la borne + (convention récepteur), \(u=-Ri\) si \(i\) entre par la borne −.
• \(2^{\text{de}}\) formulation (avec les potentiels) : on ne se préoccupe plus du sens de la tension.

Lois de Kirchhoff

• Loi des nœuds : somme des courants entrants = somme des courants sortants (ex. \(i_1+i_2+i_4=i_3+i_5\)).
• Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long d'une maille est nulle (on compte + les flèches dans le sens du parcours, − les autres).

III. Les diviseurs

IV. Les méthodes d'analyse

\(V\). Les grands théorèmes

Superposition

Dans un circuit linéaire, une tension (ou un courant) est la somme des contributions de chaque source indépendante agissant seule.

1. Garder une seule source, neutraliser les autres (tension → fil, courant → trou).
2. Calculer la grandeur partielle (souvent un simple diviseur).
3. Recommencer pour chaque source, puis additionner algébriquement.

Millman

Thévenin

Tout circuit linéaire (vu de deux bornes, sans la charge) équivaut à une source \(V_{Th}\) en série avec \(R_{Th}\).

1. Débrancher la charge.
2. \(R_{Th}\) : neutraliser toutes les sources indépendantes et calculer la résistance vue des bornes.
3. \(V_{Th}\) : tension à vide entre les bornes (nœuds, diviseur, etc.).
4. Rebrancher la charge : diviseur de tension \(V_{ch}=\dfrac{R_{ch}}{R_{ch}+R_{Th}}V_{Th}\).

Norton

Même circuit équivalent sous forme source de courant \(i_N\) en parallèle avec \(R_N\) : \(R_N=R_{Th}\), \(i_N\) = courant de court-circuit entre les bornes (ou directement \(i_N=V_{Th}/R_{Th}\)). Puis diviseur de courant : \(i_{ch}=\dfrac{R_N}{R_N+R_{ch}}i_N\).

VI. L'amplificateur opérationnel idéal

• AO réel : \(\varepsilon\) très petit mais non nul, \(i_+\) et \(i_-\) très petits. Modèle : \(R_i\to\infty\), \(R_o\to0\), gain en boucle ouverte \(A_{v,ol}\to\infty\).
• AO idéal : \(\varepsilon=0\), \(i_+=i_-=0\).
• Contre-réaction (sortie reliée à l'entrée −) → régime linéaire → \(V_d=V_+-V_-=0\).
• Pas de contre-réaction → régime saturé : \(V_{out}=+V_{sat}\) si \(V_d>0\), \(-V_{sat}\) si \(V_d<0\).

TD0 · Le circuit fil rouge exemples du Cours 0

Tout le Cours 0 résout le même circuit avec chaque méthode. C'est l'exemple de référence du chapitre : il faut savoir le refaire.

1. Méthode des nœuds

2 inconnues \(V_A\), \(V_B\), donc 2 équations. Nœud \(A\) : \(1+i_1=i_2\). Nœud \(B\) : \(i_2=i_3+i_4\). Avec Ohm en potentiels :

2. Méthode des mailles

4 inconnues \(i_1,i_2,i_3,i_4\) : 2 mailles + 2 nœuds.

Résultats : \(i_1=-792\) \(mA\), \(i_2=208\) \(mA\), \(i_3=125\) \(mA\), \(i_4=83{,}7\) \(mA\).

3. Superposition

• Source de \(4\,\mathrm{V}\) seule (source de courant → trou) : \(100+200=300\,\mathrm{\Omega }\) en parallèle avec \(300\,\mathrm{\Omega }\) donne \(150\,\mathrm{\Omega }\), en série avec \(400\,\mathrm{\Omega }\) :
  \[V_{B1}=\frac{150}{150+400}\times4=1{,}09\ \text{V}\]
• Source de \(1\,\mathrm{A}\) seule (source de tension → fil) : \(1\,\mathrm{A}\,\parallel \,100\,\mathrm{\Omega }\Leftrightarrow 100\,\mathrm{V}\) en série avec \(100\,\mathrm{\Omega }\) ; puis \(100+200=300\,\mathrm{\Omega }\) en série ; charge \(300\,\parallel \,400=171{,}4\,\mathrm{\Omega }\) :
  \[V_{B2}=\frac{171{,}4}{171{,}4+300}\times100=36{,}36\ \text{V}\]
• Total : \(V_B=V_{B1}+V_{B2}=37{,}5\) \(V\).

4. Millman

On retombe sur le même système que la méthode des nœuds.

5. Thévenin vu de \(B\) (charge \(=300\,\mathrm{\Omega }\))

• \(R_{Th}\) : sources neutralisées, \((100+200)\,\parallel \,400\) :
  \[R_{Th}=\frac{(100+200)\times400}{100+200+400}=171{,}4\ \Omega\]
• \(V_{Th}\) à vide (\(300\,\mathrm{\Omega }\) retirée) : nœud \(A\), \(1+\dfrac{0-V_A}{100}=\dfrac{V_A-4}{200+400}\) donne \(V_A=86{,}3\) \(V\), puis \(i_1=-0{,}863\) \(A\), \(i_2=0{,}137\) \(A\) et
  \[V_{Th}=V_A-200\,i_2=86{,}3-200\times0{,}137=58{,}9\ \text{V}\]
• Charge rebranchée : \(V_B=\dfrac{300}{300+171{,}4}\times58{,}9=37{,}5\) \(V\).

6. Norton vu de \(B\)

• \(R_N=R_{Th}=171{,}4\ \Omega\).
• \(i_N\) : \(B\) relié à la masse. \(i_4=\dfrac{0-4}{400}=-0{,}01\) \(A\) ; nœud \(A\) \(1+i_1=i_2\) ; maille \(-100i_1-200i_2=0\) ; nœud \(B\) \(i_2=i_4+i_N\). On trouve \(i_N=0{,}343\) \(A\) (et on vérifie \(V_{Th}/R_{Th}=58{,}9/171{,}4=0{,}343\) \(A\)).
• Diviseur de courant : \(i_B=\dfrac{171{,}4}{171{,}4+300}\times0{,}343=0{,}125\) \(A\), puis \(V_B=300\,i_B=37{,}4\) \(V\) (arrondis).

Ch1 · Conducteurs et composants amphi Cours 1

\(A\). La convention récepteur

• Un composant passif reçoit l'énergie fournie par le\((s)\) générateur\((s)\) ; la polarité + est donnée par le générateur.
• Les électrons partent de la borne − et vont vers la borne + : dans un récepteur, la flèche de tension et la flèche de courant sont de sens opposés.
• Loi d'Ohm en convention récepteur : \(u_R=+Ri\). La puissance \(P=ui\) est alors la puissance reçue (\(P>0\)).

\(B\). Fondamentaux sur la conduction

Le champ et la force

Une différence de potentiel \(u\) sur un conducteur de longueur \(\ell\) crée un champ \(E=\dfrac{u}{\ell}\), orienté vers les potentiels décroissants. Force de Coulomb sur un électron : \(\vec F=-e\vec E\) (opposée au champ), \(e=1{,}6\times10^{-19}\) \(C\). Tant que le circuit est fermé, un courant \(i=\dfrac{dq}{dt}\) s'établit.

Ordres de grandeur (métal, \(20^{\circ}\mathrm{C}\))

1. Vitesse de dérive : le modèle de Drude (démonstration à savoir)

Électron = particule ponctuelle soumise à la force électrique \(q\vec E\) et à un frottement fluide \(-h\vec v\) (collisions avec les ions du réseau). Deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen :

Équation différentielle \(\mathrm{d}u\,1^{\text{er}}\) ordre. Solution homogène \(\vec K e^{-t/\tau}\) avec \(\tau=\dfrac{m}{h}\) ; solution particulière (régime permanent, \(\frac{d\vec v}{dt}=\vec 0\)) : \(\vec v=\dfrac{q\tau}{m}\vec E\). Donc :

Le terme exponentiel est négligeable après \(5\tau\) : régime permanent. Avec \(q=-e\) :

Exemple du cours (cuivre, \(\ell=10\) \(m\), \(u=10\) \(V\)) :

Pour parcourir \(1\,\mathrm{m}\) : \(\Delta t=\dfrac{1}{5\times10^{-3}}\approx2000\) \(s\approx 33\,\min\). Les électrons sont lents ; c'est le champ qui s'établit quasi instantanément.

2. Vecteur densité de courant

Densité volumique de charges mobiles : \(\rho_m=-ne\). Pendant \(dt\), les charges qui traversent \(dS\) sont dans un cylindre de volume \(v\,dt\,dS\) :

Unité : \(\frac{A}{m^{2}}\). Pour un courant uniforme : \(j=\dfrac{i}{S}\).

3. Loi d'Ohm locale

\(\gamma\) (aussi noté \(\sigma\)) est la conductivité. Un métal conduit beaucoup mieux qu'une solution ionique (facteur ~\(10^{7}\) entre Cu et KCl).

4. Loi d'Ohm (macroscopique)

(\(\vec E\) et \(\vec n\) colinéaires.) Si \(u\) augmente, \(E\) augmente donc \(j\) augmente ; si \(R\) augmente à \(u\) constant, \(j\) diminue.

5. Conductivité et résistivité

Exemple du cours : fil de carbone, \(\ell=10\) cm, \(r=0{,}2\) mm, \(\gamma=2{,}5\times10^4\) \(\frac{S}{m}\), sous \(10\,\mathrm{V}\) :

\(C\). Les composants

Généralités

• Passif : ne peut pas augmenter la puissance d'un signal (souvent la réduit par effet Joule) : résistance, bobine, condensateur.
• Actif : peut augmenter la puissance d'un signal grâce à une alimentation externe : AO, transistor (semi-conducteurs).
• Domaines : électrotechnique (fusible, relais, transformateur), capteurs (CMOS, pression, effet Hall), analogique (\(R,\,\allowbreak C,\,\allowbreak L\), diode, transistor, régulateur), numérique (portes, bascules, microcontrôleurs, FPGA), interface humaine (LED, potentiomètre, afficheur, bouton).

La résistance

• Conducteur chauffé : il a des électrons libres même à \(0\,\mathrm{K}\) ; l'agitation thermique désorganise le réseau, les électrons se déplacent plus difficilement : \(\rho\) augmente.
• Isolant ou semi-conducteur chauffé : à \(0\,\mathrm{K}\) il n'a aucun électron libre ; l'agitation thermique en arrache : plus de porteurs, \(\rho\) diminue.
• Rôles : abaisser une tension (diviseur), augmenter une tension (AO non-inverseur), limiter un courant, résistances de tirage pull-up et pull-down (niveau logique bien défini sur l'entrée d'un microcontrôleur quand le bouton est relâché).
• Rhéostat : \(R=\dfrac{\ell}{\ell_{max}}R_{max}\) (car \(R\propto\ell\)). Potentiomètre : diviseur réglable, \(v_{out}=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}V_{CC}\) ; en résistance variable si on n'utilise que 2 bornes successives.
• Suiveur après un diviseur : exemple du cours, \(R_1=R_2=10\) \(k\,\mathrm{\Omega }\), \(u_e=5\) \(V\colon 2{,}5\,\mathrm{V}\) à vide, mais seulement \(0{,}42\,\mathrm{V}\) avec une charge \(R=1\) \(k\,\mathrm{\Omega }\). Avec un suiveur intercalé, on garde \(2{,}5\,\mathrm{V}\) quelle que soit la charge.
• Modèle réel : inductance série parasite \(L_s\) (connexions) et capacité parallèle parasite \(C_p\) (électrodes), actives aux très hautes fréquences ; résistance de fuite \(R_L\) en parallèle (importante si \(R\) grande ou haute tension). En basse fréquence \(Z_R=R\).

Le condensateur

Deux armatures conductrices séparées par un isolant (le diélectrique). Il stocke des charges et les restitue au circuit.

• Découplage : \(C\) en parallèle entre l'alimentation et la masse pour supprimer le bruit. \(f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}\) : basse fréquence à supprimer → \(C\) grand (électrolytique, ~\(10\,\mu F\)) ; haute fréquence → \(C\) petit (céramique, ~\(100\,\mathrm{nF}\) à \(100\,\mathrm{pF}\)). On met les deux.
• Couplage ou liaison : \(C\) en série pour bloquer la composante continue (offset) d'un signal.
• Filtrage : ne laisser passer qu'une gamme de fréquences.
• Échantillonneur-bloqueur : interrupteur fermé, \(C\) se charge à \(V_{in}\) (acquisition) ; ouvert, \(C\) garde sa tension car l'AO a une impédance d'entrée infinie (mémorisation), le temps que l'ADC convertisse.
• Anti-rebond : un RC lisse les impulsions parasites d'un bouton.
• Non polarisés (céramique) : petites valeurs \((\le 1\,\mu F)\), grandes tensions (50 à \(250\,\mathrm{V}\)). Code « 104 » = \(10\times10^4\) \(pF=100\,\mathrm{nF}\).
• Polarisés (électrolytique, tantale) : grandes valeurs \((\ge 1\,\mu F)\) ; respecter la polarité (surchauffe sinon) et vérifier la tension de service.
• Modèle réel : résistance de fuite \(R_L\) en parallèle (importante pour les électrolytiques, 5 à \(20\,\mathrm{nA}\) par \(\mu F\)), résistance série \(R_{ESR}\) (connexions, indique le vieillissement), inductance série \(L_{ESL}\) (connexions et armatures).

TD1 · Résistivité et capacité poly \(p\). 5 à 9

Pour chaque exercice : la démarche à reproduire et le résultat pour te vérifier. Les corrigés complets sont sur ton site, page Corrigés.

Ex 1.1 · Cuivre ou aluminium ?

Même masse \(m\) et même longueur \(\ell\) : \(m=m_0S\ell\) donc \(S=\dfrac{m}{m_0\ell}\) et

À masse égale, le meilleur est celui qui a le plus petit produit \(\rho\,m_0\) : Al \(2{,}85\times2{,}7=7{,}7\) contre Cu \(1{,}73\times8{,}96=15{,}5\) \(\left(\mu \Omega \cdot \frac{g}{cm^{2}}\right)\). L'aluminium gagne (2 fois moins de pertes Joule \(P=RI^2\)), même s'il est moins bon conducteur.

Ex 1.2 · Cuivre avec impuretés

Les contributions s'ajoutent : \(\rho_{com}=\rho_0+\Delta\rho_{Fe}+\Delta\rho_{Cr}+\Delta\rho_{Ag}\), avec \(\rho_0=\dfrac{1}{\sigma_0}=\dfrac{1}{5{,}97\times10^5}=1{,}675\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\) et, lus sur la courbe, \(0,\,\allowbreak 10+0{,}05+0{,}02=0{,}17\,\mu \Omega \cdot\)cm.

Ex 1.3 · Vitesse de dérive dans un thermistor

Ici \(e\) désigne l'épaisseur du disque, pas la charge élémentaire.

Ex 1.4 · Électrons par seconde

Nombre d'électrons par seconde \(x=\dfrac{I}{e}\) avec \(I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{US}{\rho\ell}\) :

Calcul fait en cm : \(S=0{,}246\) \(cm^{2}\), \(\ell=600\) cm, \(\rho\) en \(\Omega \cdot\)cm. On trouve aussi \(R=3{,}75\) \(m\,\mathrm{\Omega }\) et \(I=26{,}7\) \(A\).

À \(100^{\circ}\mathrm{C}\), \(\rho\) augmente donc \(x\) diminue : \(x_{100}=\dfrac{\rho_0}{\rho_{100}}x_0=\dfrac{1{,}54}{2{,}22}\times1{,}66\times10^{20}=1{,}15\times10^{20}\ \text{s}^{-1}\). On en déduit \(\alpha=\dfrac{\rho_{100}/\rho_0-1}{100}\approx4{,}4\times10^{-3}\ \text{K}^{-1}\).

Ex 1.5 · Conducteur cylindrique

Données : \(r=5\) mm, \(\ell=50\) cm, \(U=12\) \(V\), \(i=0{,}1\) \(A\), \(N=10^{24}\) électrons.

Ex 1.6 · Condensateur plan

Données : \(Q=3\times10^{-10}\) \(C\), \(S=900\ \text{mm}^2=9\times10^{-4}\ \text{m}^2\), \(e=2\) mm.

Pièges et unités

• Rayon ou diamètre : le piège le plus fréquent du TD1. Un diamètre double divise \(R\) par 4.
• Tout mettre dans la même unité avant \(R=\rho\ell/S\) : tout en \(m\), ou tout en cm (comme le poly), jamais un mélange.
• \(e\) : charge élémentaire ou épaisseur selon l'exercice ; \(\rho\) : résistivité ou densité de charge ; \(\sigma\) : conductivité ou densité surfacique de charge. Lire l'énoncé.
• Signe de \(\vec v\) : les électrons vont dans le sens opposé à \(\vec E\) et au courant conventionnel. En norme, on écrit \(v=\mu E\).
• Diviseur de courant : l'autre résistance au numérateur.
• Neutralisation : seulement les sources indépendantes ; tension → fil, courant → trou.
• Thévenin : \(V_{Th}\) se calcule charge retirée ; ne pas réutiliser les potentiels du circuit chargé.
• Résultat négatif d'un courant : sens réel opposé à la flèche, on le garde tel quel.
• AO : vérifier la présence de la contre-réaction avant d'écrire \(V_+=V_-\), et vérifier que \(|V_{out}|<V_{sat}\).
• Chiffres significatifs : 3 suffisent ; toujours écrire l'unité.

Entraînement

Questions de type évaluation, nouvelles valeurs. Cherche d'abord, puis ouvre la correction.

Formulaire de la veille

Constantes : \(e=1{,}6\times10^{-19}\) \(C\,\cdot\) \(m_e=9{,}1\times10^{-31}\) kg · \(\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\) \(\frac{F}{m}\,\cdot\) \(\tau\approx3\times10^{-14}\) \(s\,\cdot\) \(n\approx10^{29}\ \text{m}^{-3}\).