Réviser le partiel sur les annales.

Données. Silicium intrinsèque \(n_i=10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\), \(\mu_n=1\,450\) et \(\mu_p=450\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)}\), \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) C, \(M_{Si}=28{,}1\) g/mol, \(\rho_{Si}=2{,}42\) g/cm³, \(\mathcal N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\). On dope avec de l'indium : un atome d'impureté pour \(10^7\) atomes de silicium.

Q11-12. Conductivité et résistivité du silicium pur. \(n_i=p_i\).

Q13-14. L'indium est en colonne 13 : 3 électrons de valence, il lui manque un électron pour la liaison covalente. Il est accepteur ; le silicium dopé est de type P.

Q15. Densité de trous. Atomes de silicium par cm³, puis dopage :

Chaque accepteur crée un trou : \(p\approx N_A\approx5\cdot10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}\).

Q16. Densité d'électrons (action de masse) :

Q17-18. Nouvelle conductivité et résistivité. Les électrons sont négligeables :

Q19. Conclusion. La conductivité est multipliée par \(\dfrac{0{,}36}{3{,}04\cdot10^{-6}}\approx1{,}2\cdot10^{5}\) : un seul atome d'indium pour dix millions d'atomes de silicium suffit à transformer l'isolant quasi parfait en matériau conducteur. C'est tout l'intérêt du dopage.

Circuit. Source \(E=10\) V, résistance \(2R\) jusqu'à un nœud A, résistance \(2R\) de A à la masse, puis \(R=50\ \Omega\) en série avec la diode (courant \(i_d\), tension \(u_d\)). Diode : \(V_S=0{,}7\) V, \(r=2\ \Omega\).

Q20. Droite de charge. On remplace tout ce qui est à gauche de la diode par son équivalent de Thévenin. À vide (diode retirée) la résistance \(R\) n'est parcourue par aucun courant : le nœud A est au milieu d'un pont diviseur.

Loi des mailles \(E_{Th}-R_{Th}i_d=u_d\), soit la droite de charge sous la forme \(y=ax+b\) :

Q21. Courant. On remplace \(u_d\) par le modèle réel \(u_d=V_S+r\,i_d\) :

Q22. Tracé. Points particuliers de la droite de charge :

La caractéristique de la diode est presque verticale en \(V_S=0{,}7\) V ; son intersection avec la droite donne le point de polarisation \(Q\approx(0{,}7\ \mathrm V\,;\,42\ \mathrm{mA})\) (exactement \(u_d=0{,}7+2\times0{,}042=0{,}78\) V avec la résistance interne).

Circuit. Source \(u_e=E\), résistance série \(R\), puis en parallèle : la Zener (\(V_Z\), \(r_Z\)) et la charge \(R_L\). \(u_d\) = tension sur la Zener = tension de sortie.

Q23. Thévenin vu par la Zener (pont diviseur) :

Q24. Loi des mailles : \(E_{Th}-R_{Th}\,i_d=u_d\), soit \(i_d=\dfrac{E_{Th}-u_d}{R_{Th}}\). Q25. Modèle réel de la Zener : \(u_d=V_Z+r_Z\,i_d\).

Q26. Sortie en fonction de \(E\). On substitue :

Q27-29. Conditions de régulation (\(u_d\) le plus proche possible de \(V_Z\)) :

• le terme \(\dfrac{r_Z}{R}E\) doit être négligeable devant \(V_Z\) : \(R\gg r_Z\) ;
• le terme \(r_Z\dfrac{R+R_L}{R\,R_L}=r_Z\left(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R_L}\right)\) doit être très petit devant \(1\) : \(R_L\gg r_Z\) aussi. Le corrigé résume : la charge doit être très grande devant \(R\) (elle ne doit pas tirer de courant).

Vérification numérique : \(V_Z=5{,}6\) V, \(r_Z=10\ \Omega\), \(R=100\ \Omega\), \(R_L=1\ \mathrm{k\Omega}\). Le dénominateur vaut \(1+10\times\dfrac{1\,100}{100\,000}=1{,}11\). Pour \(E=12\) V : \(u_d=\dfrac{0{,}1\times12+5{,}6}{1{,}11}=6{,}13\) V ; pour \(E=14\) V : \(6{,}31\) V. Une variation de \(2\) V en entrée n'en donne que \(0{,}18\) V en sortie : le régulateur divise l'ondulation par \(\approx11\).

Circuit. Un signal rectangulaire \(u_e\) vaut alternativement \(+12\) V et \(-12\) V (rapport cyclique \(0{,}5\)). Il attaque en série une Zener \(D_1\) (\(V_S=0{,}6\) V en direct, \(V_Z=3{,}6\) V en inverse), puis \(R_1\), puis un nœud M relié à la masse par \(R_2\) en parallèle avec une diode \(D_2\) (\(V_S=0{,}6\) V, passante quand M est négatif). On veut un courant \(|i|=12\) mA dans les deux alternances.

Alternance +12 V. \(D_1\) conduit (\(0{,}6\) V), \(D_2\) est bloquée (M est positif) : seule \(R_2\) ramène le courant à la masse.

Alternance \(-12\) V. \(D_1\) est en inverse mais conduit dans sa zone Zener (\(3{,}6\) V) ; \(D_2\) conduit et impose \(V_M=-0{,}6\) V. Le courant dans la source traverse \(R_1\) :

Conclusion. \(R_1=650\ \Omega\) et \(R_2=950-650=300\ \Omega\) (réponses (b) et (a) du sujet). On a deux équations (une par alternance) pour deux inconnues : dès qu'un circuit a deux états, écrire une équation par état.

Circuit. \(V_{CC}=14\) V ; \(R_B=15\ \mathrm{k\Omega}\) de \(V_{CC}\) à la base ; \(R_C=50\ \Omega\) au collecteur ; \(R_E=80\ \Omega\) à l'émetteur ; silicium, \(\beta=250\), zone linéaire.

Courant de base. Maille d'entrée \(V_{CC}-R_Bi_B-V_{BE}-R_Ei_E=0\) avec \(i_E=(\beta+1)i_B\) :

Courants. \(i_C=\beta i_B=250\times379\ \mu\mathrm A=94{,}8\) mA ; \(i_E=i_C+i_B=95{,}2\) mA.

Potentiels.

Mode. \(V_{BE}=+0{,}7\) V : jonction BE en direct. \(V_{BC}=V_B-V_C=-0{,}95\) V : jonction BC en inverse. Donc mode actif : le transistor amplifie (Q38-40).

Circuit. \(V_{CC}=12\) V ; \(R_1=16\ \mathrm{k\Omega}\) (vers \(V_{CC}\)), \(R_2=1\ \mathrm{k\Omega}\) (vers la masse), \(R_C=240\ \Omega\), émetteur à la masse. Au point de fonctionnement : \(i_B=100\ \mu\)A, \(V_{CE}=6\) V.

Thévenin de base.

Droite d'attaque (caractéristique d'entrée) : \(I_B=-\dfrac{V_{BE}}{R_B}+\dfrac{V_{BB}}{R_B}\). Droite de charge (caractéristique de sortie) : \(I_C=-\dfrac{V_{CE}}{R_C}+\dfrac{V_{CC}}{R_C}\).

Point de fonctionnement.

La jonction collecteur-base est en inverse (\(V_{CB}=6-0{,}6=5{,}4\) V \(>0\)) : mode actif.

Données. \(R_1=68\ \mathrm{k\Omega}\), \(R_2=12\ \mathrm{k\Omega}\), \(R_C=1{,}5\ \mathrm{k\Omega}\), \(V_{CC}=20\) V, \(\beta=25\), silicium.

Sans \(R_E\).

Si le transistor est remplacé par un autre de \(\beta=50\), \(i_C\) double (\(11{,}3\) mA) : \(Q\) dépend de \(\beta\).

Avec \(R_E=1\ \mathrm{k\Omega}\). \(i_B=\dfrac{E_{Th}-V_{BE}}{R_{Th}+(\beta+1)R_E}\) :

Pour \(\beta\) multiplié par \(2\), \(i_C\) ne bouge plus que de \(18\ \%\). Avec \((\beta+1)R_E\ge10\,R_{Th}\) l'indépendance est quasi totale : \(i_E\approx\dfrac{E_{Th}-V_{BE}}{R_E}\). C'est la réponse « les coordonnées du point de polarisation sont indépendantes de \(\beta\) » des QCM (DS20 Q17, DS22 Q18, P20 Q1).

Variante DS20 Q18-19 : NPN émetteur à la masse, \(\beta=100\), \(R_A=10\ \mathrm{k\Omega}\) (base), \(R_B=1\ \mathrm{k\Omega}\) (collecteur), \(V_{CE}=5\) V, \(I_C=2\) mA : \(I_B=20\ \mu\)A, \(V_A=0{,}7+10\ \mathrm k\times20\ \mu\mathrm A=0{,}9\approx1\) V ; \(V_B=5+1\ \mathrm k\times2\ \mathrm{mA}=7\) V.

Circuit. \(V_{CC}=12\) V ; \(R_1=180\ \Omega\) de \(V_{CC}\) à la base ; Zener \(V_Z=5{,}6\) V (\(r_Z=0\)) de la base à la masse ; collecteur à \(V_{CC}\) ; émetteur vers \(R_2=220\ \Omega\) en série avec une LED (\(V_{LED}=2\) V, \(R_{LED}=10\ \Omega\)) en parallèle avec la charge. \(V_{BE}=0{,}6\) V, \(\beta=150\), \(V_{CE,sat}=0{,}2\) V. La Zener est passante.

\(V_{CE}=7\) V \(>V_{CE,sat}\) : le transistor est actif. La sortie vaut \(V_Z-V_{BE}\) quelle que soit la charge (dans les limites du courant) : le transistor « ballast » fournit le courant de charge, la Zener ne débite que le courant de base (\(\beta\) fois plus faible).

Circuit. \(V_{CC}=12\) V ; \(R_1=270\ \mathrm{k\Omega}\) de \(V_{CC}\) à la base ; \(R_2=2{,}2\ \mathrm{k\Omega}\) au collecteur (c'est la résistance de collecteur) ; émetteur à la masse ; \(C_1\) à l'entrée, \(C_2\) à la sortie. \(\beta=60\), \(V_{BE}=0{,}7\) V, \(r_o=40\ \mathrm{k\Omega}\).

Polarisation.

Paramètres dynamiques.

Les réponses du sujet (\(40\ \mu\)A, \(2\) mA, \(10\ \Omega\), \(600\ \Omega\), \(2\ \mathrm{k\Omega}\), \(-200\)) sont les valeurs proposées les plus proches. Le signe \(-\) : l'émetteur commun inverse le signal.

Variante P22 Q9-12 (\(\beta=100\), \(r_e=1{,}36\ \Omega\), \(R_C=1\ \mathrm{k\Omega}\), \(r_o=50\ \mathrm{k\Omega}\), pont \(6\ \mathrm{k\Omega}/3\ \mathrm{k\Omega}\)) : \(Z_i=2\,000\parallel137=128\ \Omega\), \(Z_o=980\ \Omega\), \(A_v\approx-720\).

Données. \(V_{CC}=10\) V, \(\beta=200\), \(V_{BE}=0{,}7\) V, \(V_{CE,sat}=0{,}25\) V, \(R_C=500\ \Omega\), \(R_B=14{,}7\ \mathrm{k\Omega}\), \(V_{in}=0\) ou \(5\) V.

Équations. Maille d'entrée : \(V_{in}-R_Bi_B-V_{BE}=0\). Maille de sortie : \(V_{CC}-R_Ci_C-V_{CE}=0\) (et \(V_{out}=V_{CE}\)).

\(V_{in}=0\). Pas de courant de base : transistor bloqué, \(V_{CE}=V_{out}=V_{CC}=10\) V.

\(V_{in}=5\) V. On suppose le transistor saturé :

Vérification. \(\beta\,i_B=200\times292{,}5\ \mu\mathrm A=58{,}5\ \mathrm{mA}>19{,}5\) mA : le courant que le transistor voudrait faire passer dépasse ce que le circuit autorise, il est bien saturé et \(V_{out}=0{,}25\) V. Le rapport \(\dfrac{\beta i_B}{i_{C,sat}}=3\) est le coefficient de sur-saturation.

Le montage est une porte NON : entrée à \(0\) V \(\to\) sortie à \(10\) V ; entrée à \(5\) V \(\to\) sortie à \(0{,}25\) V.

Méthode. pMOS conducteur pour une entrée à \(0\), nMOS pour une entrée à \(1\). Série = ET, parallèle = OU. Le pull-down est la fonction complémentaire du pull-up (De Morgan). Délai : \(\tau=\dfrac{(R_{P,eq}+R_{N,eq})\,C}{2}\) avec la résistance équivalente du pire chemin (le plus de transistors en série).

P24 : première porte. pMOS : \((C\parallel D)\) en série avec \(A\) puis \(B\) ; nMOS : \((C\text{–}D)\) en série, en parallèle avec \(A\) et avec \(B\).

Avec \(R_N=10\ \mathrm{k\Omega}\), \(R_P=20\ \mathrm{k\Omega}\), \(C_O=50\) pF : pire pull-up \(=3\times20=60\ \mathrm{k\Omega}\) (\(A\), \(B\) et \(C\) ou \(D\)), pire pull-down \(=2\times10=20\ \mathrm{k\Omega}\).

Deuxième porte : \(2\ \mu\)s aussi ; deux portes en cascade, les délais s'additionnent (\(\approx4\ \mu\)s : le corrigé retient la proposition la plus proche, \(5\ \mu\)s).

P20 Q13. pMOS \((x_1\parallel x_2)\)–\((x_3\parallel x_4)\)–\(x_5\) : pire pull-up \(=3\times100=300\ \mathrm{k\Omega}\) ; nMOS \((x_1\text{–}x_2)\parallel(x_3\text{–}x_4)\parallel x_5\) : pire pull-down \(=2\times5=10\ \mathrm{k\Omega}\) ; \(C=10\) pF :

Données. \(V_{in}=10\) V, \(R_S=100\ \Omega\), Zener \(V_Z=5{,}1\) V, charge \(R_L\) variable.

Condition de conduction. La Zener conduit si la tension à vide à ses bornes dépasse \(V_Z\) :

Bilan des courants (\(I_Z=I_{R_S}-I_L\)) :

Les deux limites d'un régulateur Zener. \(R_S\) trop petite : \(I_Z=\dfrac{V_{in}-V_Z}{R_S}-I_L\) dépasse \(I_{Z,max}\), la Zener chauffe et est endommagée. \(R_S\) trop grande ou \(R_L\) trop petite : la tension à vide tombe sous \(V_Z\), la Zener ne conduit plus. C'est pourquoi ce montage convient aux faibles courants d'utilisation.

Avec \(V_Z=10\) V, \(R_S=100\ \Omega\), \(R_L=200\ \Omega\) (Q8-11) : \(V_{out}=10\) V à \(10{,}7\) V pour \(V_{in}\) de \(16\) à \(30\) V, \(I_L\approx50\) mA : régulation correcte tant que \(V_{in}\) reste assez grand.

1. Zone P : \(p\approx N_A=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}\) (majoritaires), \(n=\dfrac{n_i^2}{p}=\dfrac{2{,}25\cdot10^{20}}{10^{17}}=2{,}25\cdot10^{3}\ \mathrm{cm^{-3}}\) (minoritaires). Zone N : \(n\approx N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}\), \(p=\dfrac{n_i^2}{n}=2{,}25\cdot10^{4}\ \mathrm{cm^{-3}}\).

2. Les électrons sont négligeables : \(\gamma_P\approx e\,p\,\mu_p=1{,}6\cdot10^{-19}\times10^{17}\times480=7{,}7\ \mathrm{S/cm}=7{,}7\cdot10^{2}\ \mathrm{S/m}\).

3.

4. \(U_D=V_T\ln\left(\dfrac{I_D}{I_S}+1\right)=0{,}0259\times\ln\left(10^{10}\right)=0{,}0259\times23{,}0=0{,}60\ \mathrm V\). Le logarithme explique la « tension de seuil » : si \(I_D\) est multiplié par \(10\), \(U_D\) n'augmente que de \(V_T\ln10=60\) mV. À courant constant, \(I_S\) croît très vite avec \(T\), donc \(U_D\) diminue d'environ \(2\) mV/°C (à \(+40\)\,°C : \(\approx0{,}52\) V) : c'est le principe du capteur de température à diode.

1. Alternance positive : les deux diodes opposées en diagonale conduisent (une côté borne \(+\), une côté retour), l'autre paire est bloquée. Le courant traverse deux diodes : \(U_c=15-2V_S=15-1{,}4=13{,}6\) V.

2. Chaque alternance est redressée : \(f=2\times50=100\) Hz. Le condensateur se charge vite sur la crête et se décharge lentement dans la charge (\(\tau=R\,C\)) : il lisse la tension.

3. La Zener impose \(u=V_Z\) : \(I_R=\dfrac{U_c-V_Z}{R}=\dfrac{13{,}6-5{,}1}{330}=25{,}8\) mA ; \(I_L=\dfrac{V_Z}{R_L}=\dfrac{5{,}1}{470}=10{,}9\) mA ; \(I_Z=I_R-I_L=14{,}9\) mA \(>0\) : la Zener conduit bien.

4. Limite : la tension à vide vaut \(V_Z\) : \(U_c\dfrac{R_L}{R+R_L}=V_Z\), donc \(R_{L,min}=\dfrac{V_Z\,R}{U_c-V_Z}=\dfrac{5{,}1\times330}{8{,}5}=198\ \Omega\).

5. Deux pires cas.

• Zener la moins sollicitée (\(U_c\) minimale, charge maximale) : \(U_c=12\) V, \(R_L=300\ \Omega\). Tension à vide : \(12\times\dfrac{300}{630}=5{,}7\) V \(>5{,}1\) V : elle conduit, et \(I_Z=\dfrac{12-5{,}1}{330}-\dfrac{5{,}1}{300}=20{,}9-17{,}0=3{,}9\) mA \(>0\).
• Zener la plus sollicitée (\(U_c\) maximale, pas de charge) : \(I_Z=\dfrac{14-5{,}1}{330}=27\) mA \(<40\) mA (puissance \(5{,}1\times0{,}027=0{,}14\) W).

Le régulateur fonctionne sur toute la plage.

1. \(E_{Th}=V_{CC}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=12\times\dfrac{10}{50}=2{,}4\) V ; \(R_{Th}=R_1\parallel R_2=8\ \mathrm{k\Omega}\).

2. Maille d'entrée : \(E_{Th}-R_{Th}I_B-V_{BE}-R_EI_E=0\) avec \(I_E=(\beta+1)I_B\) :

\(I_C=\beta I_B=1{,}87\) mA ; \(I_E=I_C+I_B=1{,}89\) mA.

3. \(V_{CE}=V_{CC}-R_CI_C-R_EI_E=12-4{,}12-1{,}55=6{,}3\) V. \(V_{BE}=0{,}7\) V et \(V_{CE}>0{,}2\) V (\(V_{CB}>0\)) : mode actif.

4. Avec \(\beta=200\) : \(I_B=\dfrac{1{,}7}{8\,000+201\times820}=9{,}84\ \mu\)A, \(I_C=1{,}97\) mA, soit \(+5\ \%\) pour un \(\beta\) doublé. Ici \((\beta+1)R_E=82{,}8\ \mathrm{k\Omega}\approx10\,R_{Th}\) : le point \(Q\) est quasi indépendant de \(\beta\). Sans \(R_E\), \(I_C\) aurait doublé.

5. \(I_{C,sat}=\dfrac{12-0{,}2}{240}=49\) mA ; \(I_{B,min}=\dfrac{I_{C,sat}}{\beta}=0{,}49\) mA ; avec un coefficient \(3\) : \(I_B=1{,}48\) mA et \(R_B=\dfrac{5-0{,}7}{1{,}48\ \mathrm{mA}}=2{,}9\ \mathrm{k\Omega}\). On prend \(2{,}7\ \mathrm{k\Omega}\) (\(I_B=1{,}6\) mA, coefficient \(3{,}2\) : on reste du côté de la saturation). La diode de roue libre donne un chemin au courant de la bobine quand le transistor se bloque : sans elle, \(u_L=L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\) crée une surtension qui détruit le transistor.

1. nMOS (PDN) : on part de \(\overline Y=AB+CD\) avec les entrées non complémentées : « \(\cdot\) » donne la série, « \(+\) » le parallèle. PDN \(=(A\text{ en série avec }B)\parallel(C\text{ en série avec }D)\). pMOS (PUN) : on exprime \(Y\) avec les entrées complémentées :

PUN \(=(A\parallel B)\) en série avec \((C\parallel D)\), tous en pMOS. Les deux réseaux sont duaux : série \(\leftrightarrow\) parallèle.

2. \(4\) nMOS + \(4\) pMOS \(=8\) transistors.

3. Pire chemin du PUN : \(2\) pMOS en série (\(A\) ou \(B\), puis \(C\) ou \(D\)), \(R_{P,eq}=2\times20=40\ \mathrm{k\Omega}\). Pire chemin du PDN : \(2\) nMOS en série, \(R_{N,eq}=2\times10=20\ \mathrm{k\Omega}\).

4. D'après le cours, une miniaturisation d'un facteur \(S\) à \(V_{DD}\) constant divise le délai par \(S^2\) : \(\tau'=\dfrac{60}{4}=15\) ns, et la fréquence maximale est multipliée par \(S^2=4\).

5. \((1,0,1,1)\) : \(AB=0\), \(CD=1\), \(Y=\overline{0+1}=0\). \((0,1,1,0)\) : \(AB=0\), \(CD=0\), \(Y=\overline{0}=1\).

1. À vide : \(V_{Th}=E\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=10\times\dfrac{4}{5}=8\) V. Source neutralisée (fil) : \(R_{Th}=R_1\parallel R_2=\dfrac{1\times4}{5}=800\ \Omega\).

2. Diviseur avec la charge : \(V_L=V_{Th}\dfrac{R_L}{R_{Th}+R_L}=8\times\dfrac{1{,}2}{0{,}8+1{,}2}=4{,}8\) V : la charge fait chuter la tension (on ne peut pas appliquer le diviseur à vide).

3. AOP en suiveur : \(V_+=V_M\) et, contre-réaction, \(V_-=V_+\), donc \(V_L=V_{out}=V_M=8\) V. Le courant d'entrée de l'AOP est nul (\(i_+=0\)) : le diviseur n'est pas chargé, et la sortie de l'AOP (impédance de sortie \(\approx0\)) alimente la charge. C'est l'adaptation d'impédance.

4. Inverseur : \(V_{out}=-\dfrac{R_f}{R_a}v_e\), gain \(-5\) ; pour \(v_e=0{,}5\) V : \(V_{out}=-2{,}5\) V.

5. Le calcul linéaire donne \(-15\) V, impossible avec une alimentation de \(\pm12\) V : l'AOP sature, \(V_{out}\approx-V_{sat}\approx-12\) V (et \(V_+\neq V_-\)).

6. Le condensateur voit \(R_{Th}\) : \(\tau=R_{Th}C=800\times10^{-6}=0{,}8\) ms ; \(f_c=\dfrac{1}{2\pi R_{Th}C}=199\) Hz (filtre passe-bas).

1. La diode conduit si \(V_{anode}-V_{cathode}=s-E_0\ge V_S\), c'est-à-dire \(s\ge E_0+V_S=3{,}7\) V. Elle impose alors \(s=3{,}7\) V.

2. Diode bloquée (pas de courant, pas de chute dans \(R\)) : \(s=e\) pour \(e\le3{,}7\) V. Diode passante : \(s=3{,}7\) V pour \(e\ge3{,}7\) V. La caractéristique est une droite de pente \(1\) qui s'aplatit à \(3{,}7\) V. \(s(t)\) est une sinusoïde dont les crêtes positives sont rabotées à \(3{,}7\) V ; l'alternance négative est intacte (jusqu'à \(-10\) V).

3. Conduction quand \(10\sin\omega t\ge3{,}7\), soit \(\sin\omega t\ge0{,}37\) : \(\omega t\in[21{,}7^{\circ};158{,}3^{\circ}]\), une plage de \(136{,}6^{\circ}\) sur \(360^{\circ}\) : \(38\ \%\) de la période, soit \(0{,}38\times20\ \mathrm{ms}=7{,}6\) ms (de \(1{,}2\) ms à \(8{,}8\) ms).

4. Au maximum \(e=10\) V : \(I_{max}=\dfrac{10-3{,}7}{1\,000}=6{,}3\) mA.

5. Modèle réel : \(I=\dfrac{10-3{,}7}{1\,000+10}=6{,}24\) mA et \(s=3{,}7+r\,I=3{,}7+0{,}062=3{,}76\) V : le plafond monte très légèrement.

1. \(E_{Th}=15\times\dfrac{12}{68}=2{,}65\) V ; \(R_{Th}=56\parallel12=9{,}88\ \mathrm{k\Omega}\).

\(V_{CE}=15-3{,}3\ \mathrm k\times1{,}76\ \mathrm{mA}-1\ \mathrm k\times1{,}77\ \mathrm{mA}=7{,}4\) V \(>0{,}2\) V : mode actif.

2. \(r_e=\dfrac{26\ \mathrm{mV}}{1{,}77\ \mathrm{mA}}=14{,}7\ \Omega\). \((\beta+1)r_e=1{,}48\ \mathrm{k\Omega}\), donc \(Z_i=R_1\parallel R_2\parallel(\beta+1)r_e=9{,}88\ \mathrm k\parallel1{,}48\ \mathrm k=1{,}29\ \mathrm{k\Omega}\). \(Z_o=R_C=3{,}3\ \mathrm{k\Omega}\). \(A_v=-\dfrac{R_C}{r_e}=-\dfrac{3\,300}{14{,}7}=-225\) (\(R_E\) court-circuitée par \(C_3\)).

3. Avec la charge : \(A_{v,ch}=A_v\dfrac{R_L}{Z_o+R_L}=-225\times\dfrac{10}{13{,}3}=-169\), soit \(20\log169=44{,}6\) dB (même résultat par \(-\dfrac{R_C\parallel R_L}{r_e}=-\dfrac{2\,481}{14{,}7}\)). Pont d'entrée : \(\dfrac{v_b}{v_g}=\dfrac{Z_i}{Z_i+R_s}=\dfrac{1{,}29}{2{,}29}=0{,}56\), donc \(\dfrac{v_{out}}{v_g}=-169\times0{,}56=-95\).

4. \(C_1\) voit \(R_s+Z_i=2{,}29\ \mathrm{k\Omega}\) : \(C_1=\dfrac{1}{2\pi f_c(R_s+Z_i)}=\dfrac{1}{2\pi\times20\times2\,290}=3{,}5\ \mu\mathrm F\) (on prend \(4{,}7\ \mu\)F normalisé).

5. Sans \(C_3\) : \(A_{v,ch}\approx-\dfrac{R_C\parallel R_L}{R_E+r_e}=-\dfrac{2\,481}{1\,015}=-2{,}4\) : le découplage multiplie le gain par près de \(70\).

1. Grille à la masse et \(I_G=0\) : \(V_G=0\) et \(V_S=R_SI_D\), donc \(V_{GS}=-R_SI_D\). Avec \(I_D\) en mA :

On pose \(t=0{,}125\,I_D\) (soit \(I_D=8t\)) : \(8t=8(1-t)^2\), d'où \(t^2-3t+1=0\) et \(t=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}\). Racine \(t=0{,}382\) : \(I_D=3{,}06\) mA et \(V_{GS}=-0{,}5\times3{,}06=-1{,}53\) V, comprise entre \(V_P=-4\) V et \(0\) : valable. Racine \(t=2{,}62\) : \(I_D=21\) mA, \(V_{GS}=-10{,}5\) V \(rejetée.

2. \(V_{DS}=V_{DD}-(R_D+R_S)I_D=20-2{,}7\ \mathrm k\times3{,}06\ \mathrm{mA}=11{,}7\) V. Zone active si \(V_{DS}>V_{GS}-V_P=-1{,}53+4=2{,}47\) V : \(11{,}7>2{,}47\), c'est le cas.

3. \(g_m=\dfrac{2\times8\ \mathrm{mA}}{4\ \mathrm V}\,(1-0{,}382)=4\ \mathrm{mS}\times0{,}618=2{,}47\ \mathrm{mS}\) (contrôle : \(\dfrac{2\sqrt{I_{DSS}I_D}}{|V_P|}=2{,}47\) mS).

4. \(R_S\) découplée : \(A_v=-g_mR_D=-2{,}47\ \mathrm{mS}\times2{,}2\ \mathrm{k\Omega}=-5{,}4\). Sans découplage : \(A_v=-\dfrac{5{,}4}{1+g_mR_S}=-\dfrac{5{,}4}{1+1{,}24}=-2{,}4\). Impédance d'entrée \(Z_i\approx R_G=1\ \mathrm{M\Omega}\) (grille isolée) : bien supérieure à celle d'un BJT, mais gain bien plus faible (\(-5\) contre \(-225\) pour le BJT de B3).

5. \(K=\dfrac{2I_D}{(V_{GS}-V_T)^2}=\dfrac{2\times2\ \mathrm{mA}}{(3-1)^2}=1\ \mathrm{mA/V^2}\) (ce \(K\) contient \(W/L\)). \(V_{GS}-V_T=2\) V : pour \(V_{DS}=5\) V \(>2\) V, canal pincé, région active ; pour \(V_{DS}=1\) V \(<2\) V, région ohmique. \(g_m=K(V_{GS}-V_T)=1\times2=2\) mS (contrôle : \(\dfrac{2I_D}{V_{GS}-V_T}=2\) mS).